El acertijo del lago

¿Cuántos acres hay en el lago triangular interior?

El otro día fui a Lakewood para asistir a un remate de tierras, pero no hice ninguna adquisición a causa de un peculiar problema que se produjo. La tierra se anunciaba como de 560 acres a incluía un lago rectangular.

Los tres terrenos muestran los 560 acres sin el lago, pero como el lago estaba incluido en la venta, yo, al igual que otros potenciales compradores, deseábamos saber si el área del lago se había deducido verdaderamente de la tierra.

El rematador garantizó "más o menos" 560 acres. Esto no resultó satisfactorio a los compradores, de modo que lo dejamos discutiendo con algunas avecillas y gritándole a las ranas del lago, que en realidad era un pantano.

La pregunta que planteo a nuestros lectores es cuántos acres habría en ese lago triangular, rodeado como lo muestra la ilustración por terrenos cuadrados de 370, 116 y 74 acres.
El problema resulta particularmente interesante para aquellos con preocupaciones matemáticas, pues da definitiva respuesta a una proposición que, según los métodos usuales, produce una de esas fracciones decimales decrecientes pero infinitas.

Solución:

En este notable problema descubrimos que el lago contenía exactamente 11 acres, de modo que la respuesta aproximada "unos 11 acres" no es suficientemente correcta.

La respuesta precisa y definida se elabora por medio de la ley pitagórica que demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

En la ilustración, ABC representa a nuestro triángulo, AD tiene 9 unidades de longitud y BD 17, porque 9 x 9 da 81, que sumado a 17 x 17 (289) iguala los 370 acres del campo más largo. AEC es un triángulo rectángulo, y el cuadrado de 5 (25), sumado al cuadrado de 7 (49) demuestra que el cuadrado de AC es 74. CBF es también un triángulo rectángulo.

El cuadrado de sus lados, 4 y 10, demuestran que el cuadrado de BC es igual a 116 acres. El área de nuestro triángulo ABD es claramente la mitad de 9 x 17, lo que da 76,5 acres. Como la superficie del rectángulo más la de los dos triángulos es 65,5 restamos esa cantidad de 76,5 para demostrar que el lago contiene exactamente 11 acres.