Rithmomachy

Versión corregida y aumentada gracias al aporte de Pablo Barenbaum 1. Historia 2. La versión descripta por Asilo 3. La versión de John Sherwood 4. La versión de Jacques LeFevre 5. La versión de Claude de Boissiere 6. La versión de Gustavus Selenus 7. Comparación de las versiones   1. Historia Rithmomachy viene del griego "rithmomachia", que significa la "batalla de la armonía" o "de la proporción". También se lo llama el "Juego de los Filósofos" (en latín: "Ludus philosophorum"), y habría sido inventado en el siglo XI, probablemente en Alemania, aunque algunos autores sostienen que es un juego antiguo. Lo han jugado en toda la Edad Media, pero solo los eruditos. Lo jugaban dos personas que usaban un tablero escaqueado de ocho celdas de ancho y de diez a dieciséis celdas de largo. Los jugadores se sentaban enfrentando los lados más largos del tablero, aunque las fichas se disponían por las filas más cortas. Cada jugador tenía 24 fichas, conocidas como Blancas (pares) o Negras (impares). Ocho fichas en cada lado eran discos redondos. Ocho eran triángulos, y ocho eran cuadrados. Todas estaban pintadas de blanco en una cara y de negro en la otra, así cualquiera de los dos jugadores podía usarlas. Una ficha capturada se daba vuelta, y de este modo pertenecía al lado del captor. Cada ficha además llevaba un número, que se repetía en el reverso. Los números se muestran en el diagrama (cuya disposición es la que da Asilo, un monje alemán del siglo XI): Los números en cada una de las piezas se explican por construcción: 1. La primera fila de círculos son los primeros cuatro dígitos pares o impares (sin contar el 1): =pares =impares 2 4 6 8 3 5 7 9 2. La segunda fila de círculos son los cuadrados de los números de la primera fila: =pares =impares 2^2 =   4 4^2 = 16 6^2 = 36 8^2 = 64 3^2 =   9 5^2 = 25 7^2 = 49 9^2 = 81 3. Cuatro de los triángulos corresponden a la suma de dos círculos: =pares =impares 2+  4 =  6 4+16 = 20 6+36 = 42 8+64 = 72 3+  9 = 12 5+25 = 30 7+49 = 56 9+81 = 90 4. Los otros cuatro triángulos son números impares elevados al cuadrado en el caso de los pares, y números pares elevados al cuadrado en el caso de los impares: =pares =impares 3^2  =  9 5^2 = 25 7^2 = 49 9^2 = 81 4^2 = 16 6^2 = 36 8^2 = 64 10^2 = 100 5. Cuatro cuadrados (entre ellos la pirámide) se componen de la suma de dos triángulos cercanos: =pares =impares 9+6 = 15 20+25 = 45 42+49 = 91 (pirámide) 72+81 = 153 12+16 = 28 30+36 = 66 64+56 = 120 100+90 = 190 (pirámide) 6. Los otros cuatro cuadrados son cuadrados de números impares de 4 en 4: =pares =impares 5^2 = 25 9^2 = 81 13^2 = 169 17^2 = 289 7^2 = 49 11^2 = 121 15^2 = 225 19^2 = 361 Para cada jugador, uno de los cuadrados (el 91 para las blancas y el 190 para las negras) era reemplazado por una pirámide o pila de fichas de diferentes tipos. El 91 se construía con dos cuadrados (de 36 y 25), dos triángulos (de 16 y 9) y dos círculos (de 4 y 1); y el 190 se construía con dos cuadrados (de 64 y 49), dos triángulos (de 36 y 25) y un círculo (de 16). Hay varias variantes de Rithmomachy, que pueden haber resultado de los cambios en el nombre a través del tiempo o de la confusión o extrapolación de textos de los copistas medievales. La versión más temprana se la atribuye al erudito Hermannus Contractus. Hay varias descripciones de ésta, la mejor la escribió Asilo, un monje de Wartzburgo, que ha sido traducida por John Richards, un escritor del siglo XX, en una revista de matemática. Otros nombres por los que se lo suele llamar son: Ritmomaquia, Rithmomachia, Rythmomachy, Rythmomachia, Rithmimachia.

En esta versión, el juego se jugaba en un tablero de ocho cuadros por catorce, con las fichas en las filas posteriores. Cada una de las diferentes fichas tenía un movimiento en cualquier dirección (horizontal, vertical o diagonalmente) pero de un número diferente de pasos. Las fichas redondas se movían 1 cuadro en cualquier dirección. Los triángulos se movían dos cuadros (el cuadro intermedio vacío, no es un salto) ortogonal o diagonalmente.
Lo mismo pasaba con las fichas cuadradas, que tenían un movimiento de tres cuadros. Ni las fichas triangulares ni las cuadradas podían dividir sus movimientos. Un ficha cuadrada, por ejemplo, no podría moverse dos espacios hacia adelante y uno de lado o diagonalmente. La pirámide se movía como un cuadrado. Según la mayoría de las fuentes, se podría hacer una variante de estos movimientos tomando la cantidad de lados que tenga cada una de las fichas. De esta manera, los círculos se mueven de a 1 cuadro, los triángulos de a 3 cuadros y los cuadrados de a 4 cuadros. Por otra parte, algunas fuentes dicen que la pirámide puede moverse como cualquier ficha (de a 1, de a 3 y de a 4 cuadros) y además de a 5 cuadros, por tratarse de una ficha especial.

Había cuatro métodos de captura: asalto, emboscada, salida y bloqueo. En el asalto, una ficha podía capturar y reemplazar cualquier ficha de igual valor que ocupara un cuadro al que podía llegar por un movimiento legal. En la emboscada, cualquier ficha adyacente a fichas enemigas (dos, tres, o cuatro) cuya suma igualaba era capturada y sacada del juego. Era también capturada si las fichas adyacentes eran factores de su valor (por ejemplo, el cuadrado Par 45 estaba comprometido no sólo por la combinación de los números Impares 3, 12 y 30 -suma-, sino también por el 5 y el 9 -producto-). Ningún otro conjunto de reglas permitía que los factores fueran usados en la emboscada.

En la salida, una ficha de valor "n" que estaba a "x" cuadros de distancia de un ficha enemiga de valor "n.x" la capturaba y la reemplazaba. La distancia incluía el espacio ocupado por ambas fichas, entonces el círculo Par 8 podía capturar el triángulo Impar 16 si estuviera adyacente debido a que se contaban ambos cuadros ocupados por el 8 y el 16 (8.2=16). En el bloqueo una ficha podría ser capturada si fuera rodeada en todos los flancos por fichas enemigas, que no están ellas mismas en peligro de ser capturadas. Las pirámides podían atacar y ser capturadas por el valor de sus bases, así como por su valor total.

El propósito del juego primitivo era capturar la pirámide del oponente y entonces proceder al triunfo máximo. El triunfo máximo era disponer cuatro fichas para que sus números formaran progresiones (cada progresión usaba al menos tres de las cuatro fichas) del tipo aritmético, geométrico y armónico (una progresión de a, b, c tal que a/c= a-b / b-c). La progresión geométrica podía ser del tipo moderno a/b = b/c ó del tipo medieval a/b = c/d. Eran posibles victorias menores si no se podían obtener las tres progresiones, una combinación de cuatro fichas con dos de las progresiones que era superior a tres fichas con una sola progresión. El juego continuaba mientras se construían los triunfos.

Debido a los números implicados, no era posible ninguna progresión armónica sin usar una ficha del oponente. Una ficha capturada podía usarse para formar tal progresión si el jugador anunciaba su intención de hacerlo durante la captura, la daba vuelta y no la sacaba del lado del tablero del oponente.

John Sherwood describió el juego en 1482. Las fichas se disponían como en el diagrama de Asilo, o como los jugadores acordaran mutuamente. Los movimientos eran los mismos excepto para la pirámide, que podía moverse como cualquiera de las fichas que la componían. El método de asalto era el mismo. El método de emboscada difería en que las fichas debían poder moverse legalmente en el espacio ocupado por la ficha oponente. La ficha removida era reemplazada por cualquiera de las fichas capturadas que el captor eligiera. En la salida, la posición de la ficha movida no era contada en la distancia entre ellas. En el bloqueo, la pirámide solo podía ser capturada si no tenía ningún movimiento legal. Un movimiento legal podía ser hacia un cuadro libre o hacia uno ocupado por una oponente, que estaba en peligro. La captura y la remoción se hacían antes del siguiente movimiento del jugador contrario. Las pirámides podían tomarse por capas así como por la base y el número entero. De acuerdo a Sherwood, la pirámide debía tomarse primero; entonces debían construirse tres triunfos en un orden determinado. Primero, tres fichas debían formar una de las tres progresiones, luego cuatro fichas debían formar dos de las tres progresiones, y finalmente las cuatro fichas debían formar las tres progresiones.

Jacques LeFevre (siglo XV) dejó sólo los pasos en la dirección ortogonal. Las pirámides se movían como cuadrados. La emboscada se hacía adyacente a la ficha en peligro y sólo con dos fichas. Las salidas usaban el número de espacios libres entre las fichas como multiplicador. En el bloqueo, los movimientos solo debían bloquear y no ser ocupadas por las fichas enemigas, sino que un movimiento que bloqueaba una ficha amiga aún se consideraba abierto. Una pirámide entera o su base podía atacar o ser atacada por asalto o por salida. Las otras capas podían también hacerlo, pero si se capturaban podían ser rescatadas por cualquier ficha de valor similar, si había una. Si no, la pirámide era libre. Los triunfos debían tomar lugar en el lado opuesto del tablero.

En 1554, Claude de Boissiere publicó una descripción del juego. En el asalto, una ficha reemplazaba una ficha enemiga en un movimiento y captura. La salida requería un movimiento y captura separados, y los espacios entre las fichas era el multiplicador. La ficha sólo podía ser removida después del turno del jugador oponente. No queda claro si el juego de Boissiere permitía capturas diagonales en la salida
En la emboscada solo dos fichas se ponían próximas a la enemiga. El movimiento y la captura se hacían en un movimiento sin reemplazo. Si una ficha era capturada pero no removida, podía removerse más tarde pero debía ser reemplazada por la ficha victoriosa. Una pirámide que era capturada por su número entero, por bloqueo o por su base no podía ser rescatada. Cualquier otra capa podía ser rescatada por una ficha equivalente si había uno. Si no, el jugador victorioso podía elegir cualquier ficha que deseara.

Boissiere decía que una ficha capturada podía tomarse en la mano, girarla y entrarla en la línea posterior cuando deseara. La entrada contaba como un movimiento. Boissiere enumeró ocho finales posibles para el juego. Había ocho victorias: cinco comunes y tres propias. Las victorias comunes habilitaban aquellas con una capacidad matemática menor o con menos tiempo de juego, un juego más simple y mucho más rápido

La primera victoria, De Corpore, se lograba simplemente capturando un número establecido de fichas acordadas por los jugadores de antemano. La segunda victoria, De Bonis, consistía en capturar fichas cuyo valor numérico llegaba o excedía alguna suma predeterminada. La tercera victoria, De Lite, se hacía capturando fichas con un número establecido de dígitos, sin considerar su valor. Por ejemplo, la ficha numerada 169 tiene tres dígitos. De Honore, la cuarta victoria se efectuaba cuando un jugador había capturado un número determinado de fichas con un valor mínimo acumulado determinado. Para ganar la quinta victoria común, Honore Liteque, el jugador necesitaba capturar un número determinado de fichas que contuvieran un número determinado de dígitos cuyo valor llegaba o excedía una suma predeterminada.

Las victorias propias eran las progresiones tradicionales. La Gran Victoria consistía en disponer tres fichas para formar una de las progresiones. La Victoria Mayor necesitaba cuatro fichas para formar dos de las tres progresiones. La Victoria Máxima consistía en disponer de cuatro fichas en el territorio enemigo que formaran las tres progresiones. En una forma alterna del juego, Boissiere permite a las fichas redondas un paso diagonal, a los triángulos dos pasos ortogonalmente, y a las pirámides y cuadrados tres pasos ortogonal o diagonalmente. Todas las fichas excepto la pirámide podían moverse una vez como el caballo del ajedrez pero no podían capturar en el salto.

De las varias variantes dadas aquí, las de Asilo y Boissiere parecen ser las mejores para jugar. Los jugadores hoy pueden elegir entre las diferentes reglas para formar un juego razonable. Para facilitar esto, ponemos un cuadro comparativo de las cinco versiones dadas.

Recordar que una variante para el movimiento de las fichas es de acuerdo a la cantidad de lados que tenga (1 movimiento el círculo, 3 el triángulo, 4 el cuadrado) y la pirámide por ser una ficha especial puede moverse como cualquier otra ficha y además de a 5.